n倍角公式的证明和应用

n倍角公式的证明和应用

n倍角公式是从三角函数的2倍角公式、3倍角公式演化而来的。它在很多数学问题上，都有重要的应用。

不过，这个问题的证明，可是比较复杂的。

先来考虑一个函数方程：

设g(x)在复数范围内处处可导，且对任意复数x，y，恒有:g(x+y)g(x-y)=g^2 (x)-g^2 (y)。求g(x)的解析式！

解答过程如图，采取的对策是，通过微积分的方法来快捷地处理。

根据上面的结论，可以得到一个简洁有用的推论。这是正弦函数的内蕴性质：

n倍角公式的定义如下图。

这个公式的证明过程，采取的对策是用n元一次方程的韦达定理来处理。步骤经过凝缩，如果读不懂，可以去参考韦达定理、棣莫弗定理。

两边同除以sinx，显然，当x=0时，这是不允许的。但可以用求极限的方法，来处理这个问题。毕竟，极限理论可以处理0/0之流的不定式。

所以有以下推论：

用Mathematica来检验n倍角公式的正确性。

代码如下：

应用：

用n倍角公式证明二次互反律。这个证明方法，应该是由著名数学家Dirchlet发现的。

应用：

用3倍角公式来证明Morley定理。

如图：△ABC的三个内角的三等分线交于D、E、F。

求证：△DEF是正三角形。