用拉格朗日中值定理证明不等式

用拉格朗日中值定理证明不等式

这个系列文章讲解高等数学的基础内容，注重学习方法的培养，对初学者不易理解的问题往往会不惜笔墨加以解释，并尽可能与高中数学衔接（高等数学课程需要用到一些高中数学中不太重要的内容，如极坐标，我们会在用到时加以补充介绍）。

本系列文章适合作为初学高等数学的课堂同步辅导，高数期末复习以及考研第一轮复习时的参考资料。其中涉及的例题大多为扎实基础的常规性题目和帮助加深理解的概念辨析题，难度适中，并包含一些考研数学中的经典题目。

既然是入门，就要舍去一些难度较大或不适合初学者的内容（例如用ε-δ语言证明极限，以及教材中多数定理的证明），有些较深入的问题（例如无穷大与无界的区别和联系，拉格朗日中值定理的证明思路等）我们会以专题文章的形式给出，供有兴趣的读者选读。

本系列上一篇见下面的“经验引用”：

17高等数学入门——拉格朗日中值定理

概述。

拉格朗日中值定理在微积分中有着重要的基础性作用，本节我们来介绍其中一个应用：利用拉格朗日中值定理证明不等式。

能利用拉格朗日中值定理证明的不等式通常具有一定的形式，比如不等式中含有明显形如“f(a)-f(b)”的部分（设a>b），其中f(x)是某个我们熟悉的函数。这时根据拉格朗日中值定理将f(a)-f(b)写为f'(ξ)(a-b)的形式，再根据b<ξ

一个简单的题目。

一个类似的题目及习题。

一个经典题目。

对例3的评注及一个相关的考研试题。

例3的解法很多，例如高中阶段熟悉的用导数求函数极值的方法， 2011年考研数一第18题的第（1）问，考查的就是例3中不等式的证明。

例4的解答（利用导数知识解决数列问题的综合题）。

选读：关于例4中数列的知识拓展——欧拉常数简介。